Masterarbeit/master's Thesis " Jan Krajíček's Forcing Construction and Pseudo Proof Systems " Verfasst Von/submitted By

Diese Arbeit behandelt eine Forcing Methode, die Jan Krajíček in dem Buch ‘Forcing with random variables and proof complexity’ ([33]) 2010 vorgestellt hat und richtet sich an Leser mit grundlegenden Kenntnissen in Logik und Komplexitätstheorie. Die Forcing Methode erlaubt es Modelle für verschiedene Theorien aus dem Bereich der ‘Bounded Arithmetic’ zu konstruieren. Es werden die mathematischen Grundlagen, die zum Verständis der Methode notwendig sind, diskutiert, insoweit sie über den üblichen Umfang einer Einfürungsvorlesung in Logik und Komplexitätstheorie hinausgehen. Danach wird die Forcing Methode allgemein vorgestellt und anschließend an einem Beispiel vorgeführt. Des Weiteren werden so genannte ‘pseudo proof systems’ behandelt, die ebenfalls von Jan Krajíček in [33] vorgestellt wurden. Hierbei handelt es sich um Funktionen, die sich, im Kontext der mit der Forcing Methode konstruierten Modelle, wie Beweissysteme verhalten, aber, im Allgemeinen, keine Beweissysteme sind. Diese ‘pseudo proof systems’ werden eingeführt und ein neues Ergebnis wird vorgestellt. Dazu werden ‘pseudo proof systems that err everywhere’ definiert. Hierbei handelt es sich um ‘pseudo proof systems’ die ausschließlich Sätze beweisen, die keine Tautologien sind. Anschließend wird bewiesen, dass solche Funktionen genau dann existieren, wenn gewisse harte Sequenzen, ‘invertible probably hard sequences’ existieren. Diese werden in dieser Arbeit neu eingeführt. Ihre Existenz lässt sich unter bekannten komplexitätstheorethischen Annahmen beweisen. Abschließend wird kurz die Möglichkeit diskutiert das Konzept eine ‘pseudo proof systems’ auch über den Kontext der Forcing Methode hinaus fruchtbar zu machen.